আইনস্টাইনের আপেক্ষিকতা তত্ত্ব কী?

38

আপেক্ষিকতা তত্ত্ব পদার্থবিদ্যার একটি স্তম্ভ। নিয়মের নিয়ম! সারাজীবন চর্চা করার মত এই বিষয়টিকে একটিমাত্র Quora উত্তরে বিস্তারিত লেখা অসম্ভব। আইনস্টাইনের ১৯১৫ সালে প্রকাশিত সাধারণ আপেক্ষিকতার বিখ্যাত গবেষণাপত্রটির পৃষ্ঠাসংখ্যা ছিল সম্ভবত ৩০ (এটা আগে প্রকাশিত ‘বিশেষ আপেক্ষিকতা’-র পত্রগুলি বাদে)। আপেক্ষিকতা তত্ত্বের যে টেক্সটবইটি সবচেয়ে বিখ্যাত (Gravitation by Misner, Thorne, Wheeler) তার পৃষ্ঠাসংখ্যা ১২৭৯।

আমি অতিসংক্ষেপে কিছু লিখছিঃ

স্থান-কালের গঠনঃ

স্যার আইজ্যাক নিউটন প্রথম স্থান ও কালকে একটি নির্দিষ্ট গাণিতিক মডেল হিসেবে রূপ দিয়ে প্রকৃতির ঘটনাবলীকে সেই স্থানকালের প্রেক্ষাপটে ব্যাখ্যা করতে সমর্থ হন। নিউটনীয় চিত্রে স্থান হল একটি মঞ্চ যাতে মহাবিশ্বের সকল নাটক অভিনীত হয় এবং নাটক মঞ্চের গঠনকে প্রভাবিত করেনা। কাল হল এই চিত্রে একটি স্বয়ংসম্পূর্ণ সত্ত্বা যা নিজের মত চলতে থাকে এবং সকল দর্শকের জন্য কালের প্রবাহ একইরকম হয়।

চিত্রঃ স্থান ও কালের নিউটনীয় চিত্র যেখানে স্থান ও কাল ঘটনা-নিরপেক্ষ, পরস্পর নিরপেক্ষ, পৃথক ও পরম সত্ত্বা

এই গঠনে ‘কাল’ যেহেতু সব পর্যবেক্ষকের সাপেক্ষে সমহারে প্রবহমান তাই মনে করা যায় স্থানের প্রতিটি বিন্দুতে একটি করে ঘড়ি রয়েছে যারা সকলে সর্বদা কাঁটায়-কাঁটায় এক (Synchronized) হয়ে চলমান।

স্থান ও কালের এই চিত্রে যদি দুজন আপেক্ষিকভাবে (সমবেগে) গতিশীল পর্যবেক্ষকের কথা ভাবা হয় (ধরি আলবার্ট ও তীর্থ) যারা একই ঘটনা (ধরি, একটি বিস্ফোরণ)-র অবস্থান ও মুহূর্ত (x, t) মাপতে চাচ্ছে তাদের জন্য দুইসেট এইরকম ‘স্থান ও কাল’-এর কথা ভাবতে হবে। এই সেটকে বলে ‘নির্দেশতন্ত্র’ (Reference frame)। আলবার্টের এর নির্দেশতন্ত্রের সব ঘড়ি কাঁটায়-কাঁটায় এক, তীর্থ-র নির্দেশতন্ত্রের সব ঘড়ি কাঁটায়-কাঁটায় এক এবং আলবার্ট ও তীর্থ-র পরস্পরের ঘড়িগুলিও কাঁটায়-কাঁটায় এক হবে। অর্থাৎ, বিস্ফোরণটির অবস্থান-এর জন্য আলবার্ট ও তীর্থ ভিন্ন মাপ পেলেও বিস্ফোরণটি ঘটার জন্য প্রয়োজনীয় সময়ের পরিসরের মাপ দুজনের জন্য এক হবে।

এইভাবে নিউটনীয় চিত্রে এক নির্দেশতন্ত্র-র মাপন থেকে অন্য নির্দেশতন্ত্র-র মাপন জানার জন্য যে সূত্রবলী ব্যবহার হয় তাকে বলে ‘গ্যালিলীয় রূপান্তর’। দেখুন, স্থানের মাপন পর্যবেক্ষকদের গতির ওপর নির্ভরশীল কিন্তু কালের মাপন এক (t’=t) ও পরম।

এই চিত্র এত সহজ-সরল ও সফল ছিল যে প্রায় ২০০ বছর এই নিয়ে কোনও সমস্যা দেখা দেয়নি বা প্রশ্ন ওঠেনি। কিন্তু ম্যাক্সওয়েল-এর তড়িৎচুম্বকীয় তত্ত্ব আবিষ্কার এবং মাইকেলসন-মোরলে-র আলোর বেগ সংক্রান্ত পরীক্ষার পর সমস্যা দেখা দিল। এগুলি দেখায়, আলো (যে নিজেই তড়িৎচুম্বকীয় তরঙ্গ) সর্বদা, যে কোনও পর্যবেক্ষকের সাপেক্ষে, যে কোনও দিকে সমগতিতে চলমান। কিন্তু নিউটনীয় চিত্রে এরকম কোনও শর্ত বা বাধা নেই; তাতে বস্তু আপেক্ষিকভাবে অসীম বেগ পর্যন্ত গতিশীল হতে পারে। উভয় তত্ত্বই ভীষণ সফল। তবে? কে ঠিক কে ভুল? এমন পরিস্থিতিতে আবির্ভূত হলেন আইনস্টাইন তাঁর সমাধান নিয়ে।

আইনস্টাইন বললেন, সমস্যা আছে নিউটনীয় চিত্রে (যদিও দৈনন্দিন জীবনের নিম্নগতিতে সেগুলো গুরুত্বপূর্ণ হয়ে ওঠেনা)। স্থান আর কাল পৃথক দুটি সত্ত্বা নয়। একটিমাত্র সত্ত্বা। স্থানকাল (Spacetime)। এই স্থানকাল হল আমাদের মঞ্চ এবং মঞ্চের নাটক মঞ্চকে প্রভাবিত করতে পারে। অর্থাৎ পূর্বে যেমন পর্যবেক্ষকদের আপেক্ষিক গতির কারণে স্থানের মাপনে তফাৎ হলেও কালের মাপন একই ছিল, আইনস্টাইনের চিত্রে তাঁদের কালের মাপনও ভিন্ন হবে।

দেখা যাক স্থানে গতির কারণে কীভাবে কাল প্রভাবিত হয়।

বিশেষ আপেক্ষিকতাঃ (১৯০৫)

ব্যাখ্যা ও গণনার সুবিধার্থে আপেক্ষিকতা তত্ত্বের আলোচনায় একটি বিশেষ ধরণের ঘড়ি ব্যবহার করা হয়ঃ আলোকঘড়ি (Light clock)। এতে অনুভূমিক ও পরস্পর সমান্তরাল দুটি আয়না থাকে এবং নীচে একটি আলোকউৎস থাকে। উৎস থেকে আলো ওপরের আয়নায় পড়ে প্রতিফলিত হয়ে আবার নীচে আসে ও একটি ডিটেক্টর-এ ধরা পড়ে। এই যাওয়া-আসাকে আমরা সময়ের একক (সহজ কথায়, ঘড়ির একটি টিক-টক) ধরতে পারি।

এবারে, ধরি, দুজন পর্যবেক্ষক- আলবার্ট ও তীর্থ। আলবার্ট থাকল পৃথিবীতে। তীর্থ উচ্চগতির (আলোর গতির সাথে তুলনীয়) রকেটে করে পাড়ি দিল মহাকাশে। [ট্রেন দিয়েও ভাবা যায়; আপেক্ষিক গতি থাকলেই হল]। রকেট পৃথিবীর সাপেক্ষে সমগতিতে চলমান। দুজনের কাছেই একটি করে আলোকঘড়ি আছে যারা একদম রকেটের রওনা হওয়ার মুহূর্তে চলতে শুরু করেছে ও দুটোতেই এমনিতে টিকটক সমানহারে চলে।

আমরা ধরে নিচ্ছি তীর্থ-র ঘড়ির আলোর রওনা হওয়া ও নীচে ফিরে এসে ডিটেক্টরে ধরা পড়া- এই দুটি হল দুটো ঘটনা (Event) যাদের মধ্যেকার কালের পরিসর (Time interval) দুই পর্যবেক্ষক মাপতে চায়।

আলবার্ট যা দেখবেঃ

আলবার্টের নিজের ঘড়ি যেমন চলছিল তেমনই চলবেঃ টিক-টক-টিক-টক-টিক-টক…কিন্তু আলবার্ট তীর্থ-র ঘড়িতে কী দেখবে? দেখবে যে, রকেট চলছে বলে আলো রওনা হয়ে সোজা ওপরে গেলে ওপরের আয়নাকে ধরতে পারবে না কারণ সেটা ততক্ষণে কিছুটা এগিয়ে গেছে। ফলে তাকে একটা বাঁকা পথ অনুসরণ করতে হবে (1′-2′)। নীচে ফেরার ক্ষেত্রেও তাই (2′-3′)। সোজা ওপর-নীচ করার চেয়ে এতে বেশী পথ অতিক্রম করতে হবে দুটি ‘ঘটনা’-র মাঝে। তাই আলবার্টের সাপেক্ষে তীর্থ-র ঘড়ি চলবে এইভাবেঃ টিইইইইক-টঅঅঅঅক-টিইইইইক-টঅঅঅঅক…অর্থাৎ আলবার্টের সাপেক্ষে তীর্থ-র ঘড়ি স্লথ (slowed down/dilated) হবে। এটা যেহেতু ঘড়ির সমস্যা নয়- যেকোনো ঘড়ি ব্যবহার করলেই এরকম হবে- তাই সিদ্ধান্তে আসা যায় যে গতির জন্য কাল নিজেই স্লথ হয়ে যায়(Time dilation)

এই ব্যাপারটিকে এইভাবেও ব্যাখ্যা দেওয়া যায়ঃ

দ্বিমাত্রিক স্থানের ক্ষেত্রে একটি গাড়ি যদি উত্তরদিকে চলতে চলতে উত্তর-পূর্বদিকে বাঁক নেয় ও একই বেগে চলতে থাকে তবে যেমন তার উত্তরাভিমুখী অগ্রগতি পূর্বের চেয়ে কম হয় (কারণ গতির একটি উপাংশ পূর্বাভিমুখে ধার দিতে হয়) তেমনই চতুর্মাত্রিক স্থানকালের ক্ষেত্রে স্থানে আপেক্ষিকভাবে স্থিরবস্তু (যা কালে চলমান) স্থানে চলতে শুরু করলে [এখানে তীর্থ-র রকেট] তার কালাভিমুখী অগ্রগতি পূর্বের চেয়ে কম হয় (কারণ কালে চলনের একটি উপাংশ স্থানাভিমুখী ধার দিতে হয়)।

কাল স্লথ হওয়ার সূত্রটি হলঃ

যেকোন গতিবেগের জন্য কাল স্লথ হওয়ার ঘটনাটি ঘটবে। দৈনন্দিন জীবনে সবসময়েই এটি ঘটছে কিন্তু তা এতই নগণ্য যে আমরা বুঝতে পারি না (পারমাণবিক ঘড়ির সাহায্যে সূক্ষ্ম পরীক্ষার মাধ্যমে এটা প্রমাণিতও হয়েছে)। আলোর বেগের কাছাকাছি বেগে অর্থাৎ অত্যন্ত উচ্চবেগে এই প্রভাবটি উল্লেখযোগ্য পরিমাণে ঘটে। ওই সূত্রে বিভিন্ন আপেক্ষিক বেগের মান (v) বসিয়ে দেখলেই বোঝা যাবে।

অপরদিকে, তীর্থ কি দেখবে?

আলবার্ট যেমন দেখবে তীর্থ-র ঘড়ি স্লো চলছে, অন্যদিকে তীর্থও দেখবে আলবার্টের ঘড়ি স্লো চলছে। কেন? কে সঠিক?

উত্তরঃ দুজনেই সঠিক নিজের নিজের নির্দেশতন্ত্রে (Reference frame)। কারণ দুজনের সাপেক্ষেই অন্যজন আপেক্ষিকভাবে গতিশীল।

এছাড়া, তীর্থ দেখবে, তার কাছে তার নিজের ঘড়ির মধ্যে কোনও অস্বাভাবিকতা নেই (ঠিক যেমন আলবার্টের কাছে তার নিজের ঘড়ির মধ্যে কোনো অস্বাভাবিকতা নেই)। টিক-টক-টিক-টক-টিক-টক…এইভাবেই চলেছে। কিন্তু আলবার্ট বলছে যে, তার ১০ সেকেন্ড মানে তীর্থ-র ৫ সেকেন্ড (ধরি; আসলে কতটা স্লথ হবে সেটা আপেক্ষিক গতির ওপর নির্ভরশীল)। তীর্থর রকেটের বেগ ১০০০০০ কিমি/সেকেন্ড হলে আলবার্ট দেখবে রকেট ১০ সেকেন্ডে মোট অতিক্রম করবে ১০০০০০০ কিমি। কিন্তু তীর্থ-র ঘড়িতে ততক্ষণে ৫ সেকেন্ড হয়েছে (এটা দৃষ্টিভ্রম নয়; সত্যিই আলোকঘড়ির আলোটি ৫ বার ওঠানামা করেছে)।

তাহলে প্রশ্ন হল, তীর্থ কিকরে একই বেগ নিয়ে ৫ সেকেন্ডে ওই একই দুরত্ব যাবে?

উত্তরঃ তীর্থ-র নিজের সাপেক্ষে তীর্থ আসলে ৫x১০০০০০= ৫০০০০০ কিমি-ই যাবে। অর্থাৎ আলবার্টের কাছে যেটা ১০ লক্ষ কিমি, তীর্থ-র কাছে সেটাই ৫ লক্ষ কিমি। তীর্থ-র সাপেক্ষে সে নিজে স্থির কিন্তু বাইরের জগত উলটোদিকে চলমান। সুতরাং, সব মিলে আরেকটি সিদ্ধান্তে আসা যায়, গতি দূরত্ব/স্থানকে হ্রাস করে (Length contraction) এই স্থান/দূরত্ব/দৈর্ঘ্যের হ্রাস যে-কোনও চলমান বস্তুর জন্য প্রযোজ্য। তাই আলবার্ট দেখবে, তীর্থ-র রকেটটিও দৈর্ঘ্যে খাটো হয়ে গেছে।

এইভাবে আপেক্ষিক গতির কারণে পর্যবেক্ষকদের স্থানকালের মাপনে (Measurement of Space-time) সামগ্রিকভাবে পার্থক্য আসে। আগের মতই দুই নির্দেশতন্ত্রের স্থানকালের মাপনের মধ্যে গাণিতিক সূত্রের সাহায্যে সম্পর্কস্থাপন সম্ভব। একে বলে ‘লোরেঞ্জ রূপান্তর’।

দেখুন, আলবার্টের স্থানের মাপন (x’) তীর্থ-র স্থানকালের মাপনের (x, t) মিশ্রণ। আবার আলবার্টের কালের মাপন (t’) তীর্থ-র স্থানকালের মাপনের মিশ্রণ। আবার সমীকরণগুলিকে x ও t এর পরিবর্তে x’ ও t’ এ প্রকাশ করলেই দেখা যাবে, তীর্থ-র স্থান ও কালের মাপন আলবার্টের স্থানকালের মাপনের মিশ্রণ।

অর্থাৎ, দুই পর্যবেক্ষকের নিজস্ব স্থানকালের মাপন রয়েছে এবং একজনের স্থানকালের মাপন অন্যজনের স্থানকালের মাপনের মিশ্রণ। স্থান ও কাল যেন স্যান্ডউইচ হয়ে রয়েছে; তারা পৃথক সত্ত্বা নয়।

এইভাবে আপেক্ষিকতা তত্ত্ব চারমাত্রার স্থানকালের ধারণা নিয়ে আসে। জ্যামিতির সাহায্যে এই চারমাত্রার পদার্থবিদ্যা প্রকাশ করা হয় ‘মিনকৌস্কি রেখাচিত্র’-এর সাহায্যে।

এতে প্লাটফর্মে থাকা পর্যবেক্ষক (ধরি, আলবার্ট)-এর নির্দেশতন্ত্রকে দুটি পরস্পর উল্লম্ব মূল অক্ষের (X, T) দ্বারা দেখানো হয়। ট্রেনে/রকেটে থাকা আপেক্ষিকভাবে গতিশীল পর্যবেক্ষক (তীর্থ)- এর নির্দেশতন্ত্রের মূল অক্ষদুটি আপেক্ষিক বেগের ওপর নির্ভর করে ক্রমশঃ ক্ষুদ্র থেকে ক্ষুদ্রতর সূক্ষ্মকোণে অবস্থান করে (X’, T’)। [এর পেছনে গাণিতিক প্রমাণ আছে যার আলাদা ব্যাখ্যার অবকাশ এই উত্তরে নেই এবং এখানে প্রয়োজনও নেই]
 মূলবিন্দুগামী ৪৫ ডিগ্রী রেখা স্থানকালে আলোর পথ বোঝায়।

এই ধরণের স্থান-কালকে ‘সমতল’ (Flat) বলা হয় এবং এতে আমাদের পরিচিত ইউক্লিডীয় জ্যামিতিই ব্যবহার করা সম্ভব। গতিশীল বস্তুর পথ এক্ষেত্রে স্থানে সরলরেখায় হতে পারে কারণ মহাকর্ষ অনুপস্থিত।

স্থানকালে কোন ঘটনাকে (Event) সংশ্লিষ্ট স্থান-স্থানাঙ্ক (Space co-ordinate) ও কাল-স্থানাঙ্ক (Time co-ordinate) দিয়ে চিহ্নিত করা হয়। একটি নির্দিষ্ট ঘটনা (স্থানকালে একটি নির্দিষ্ট বিন্দু) দুই নির্দেশতন্ত্রে আলাদা স্থানকালের মাপন সৃষ্টি করে। যেমন E ঘটনাটি আলবার্টের নির্দেশতন্ত্রে (x,t) এবং তীর্থ-র নির্দেশতন্ত্রে (x’,t’) মাপন সৃষ্টি করেছে।

সুতরাং দেখাই যাচ্ছে, দুই নির্দেশতন্ত্রে স্থানকালের মাপন ভিন্ন হয়।

আলবার্টের সাপেক্ষে স্থানকালে সমগতিতে চলমান একটি বস্তুর (তীর্থ-র রকেট) গতিপথ হয় একটি সরলরেখা। 
রকেটের/তীর্থ-র নির্দেশতন্ত্রের সাপেক্ষে রকেটের ঘড়িটির নিজের কোনও স্থানে চলন হয়না (শুধু কালে চলন হয়) ফলে রকেটের ঘড়িটির গতিপথ তীর্থ-র অক্ষে (লাল) কাল-অক্ষ নিজে। সুতরাং আলবার্টের সাপেক্ষে এই লাল কাল-অক্ষই ঘড়ি-সহ আপেক্ষিকভাবে চলমান বস্তুর (রকেট) স্থানকালে গতিপথ (একে বলে রকেটের ‘বিশ্বরেখা’ বা World line)। [রকেটকে একটি বিন্দুবস্তু ধরে নেওয়া হয়েছে]

যদি আমরা ধরে নেই, তীর্থ-র রকেটটি ক্রমশঃ গতি বাড়িয়ে যেতে পারে তবে মিনকৌস্কি চিত্র অনুযায়ী তীর্থ-র নির্দেশতন্ত্র (লাল অক্ষদ্বয়) ক্রমশঃ কাছে আসতে থাকবে। আলোর বেগে পৌঁছালে দুই লাল অক্ষ হলুদ অক্ষের সাথে উপরিপাতিত হবে অর্থাৎ একটিমাত্র সরলরেখায় পরিণত হবে। ফলে স্থানকালের মাপন (x’, t’) আর সংজ্ঞায়িত করা সম্ভব হবে না। অর্থাৎ তীর্থ-র সাপেক্ষে স্থানকাল অর্থহীন হয়ে পড়বে। (সেইজন্য বলা হয়, আলোর কোনো নিজস্ব নির্দেশতন্ত্র নেই এবং আলোর কাছে স্থানকাল অস্তিত্বহীন)। বেগ= স্থানের মাপন/কালের মাপন। স্থানকালের মাপনই যদি না থাকে তবে বেগও হয়ে পড়বে অর্থহীন। সুতরাং বলা যায়, তীর্থ-র ট্রেনের আলোর বেগে পৌঁছানো ব্যাপারটাই হবে অর্থহীন। তাই আলোর বেগে পৌঁছানো সম্ভব নয়। আলোর বেগের চেয়েও বেশী বেগে পৌঁছানো যে অর্থহীনের চেয়েও বেশী অর্থহীন সেটাও বলাই বাহুল্য!

এটা আরেকভাবে দেখানো যায়। বিশেষ আপেক্ষিকতার গণিত দেখায়, স্থান ও কালকে মিশিয়ে যেমন চতুর্মাত্রিক স্থানকাল তৈরি হয়েছে তেমনই আরও অনেক রাশিকে এইভাবে মিশিয়ে চারমাত্রার রাশি তৈরি করা যায়। যেমনঃ ৪-বেগ (ত্রিমাত্রিক বেগ, কালপ্রবাহের বেগ), ৪-ভরবেগ (ত্রিমাত্রিক ভরবেগ, শক্তি) ইত্যাদি। ৪-বেগ ও ৪-ভরবেগ থেকে স্থিরভর ও আপেক্ষকীয় ভর-এর সম্পর্ক পাওয়া যায়ঃ

বা, শক্তিতে প্রকাশ করলে,

এর থেকে বোঝা যায়, বস্তুর ভর গতির ওপর নির্ভরশীল। আপেক্ষিকভাবে গতিশীল একটি বস্তুর (আপেক্ষকীয়) ভর স্থিরভরের চেয়ে বেশী হয়। v যতই c এর কাছাকাছি যেতে থাকে বস্তু তত ভারী হতে থাকে, তার গতি বাড়াতে তত বেশী শক্তির দরকার পড়ে। এইভাবে আলোর গতিতে পৌঁছাতে হলে অর্থাৎ v→c হতে হলে E→অসীম হয়ে যায় (‘=’ চিহ্ন আমরা ব্যবহার করতে পারব না কারণ স্থানকাল এবং সেই সাথে লোরেঞ্জ রূপান্তর আলোর বেগে অর্থহীন হয়ে পড়ে ফলে এই সমীকরণটিও আলোর বেগে প্রযোজ্যই নয়) অর্থাৎ আলোর গতিতে পৌঁছাতে একটি ভরযুক্ত বস্তুর অসীম পরিমাণ শক্তি দরকার পড়ে যা পাওয়া অসম্ভব কারণ সম্পূর্ণ মহাবিশ্বেরও মোট শক্তির পরিমাণ সসীম। তাই ভরযুক্ত বস্তু কখনও আলোর বেগে পৌঁছাতে পারে না। আলোর চেয়ে দ্রুততর হতে পারার কোনও প্রশ্নই আসে না।

৪-ভেক্টরঃ

আগেই উল্লেখ করেছি, বিশেষ আপেক্ষিকতা অনুযায়ী, নানাধরণের ত্রিমাত্রিক ও একমাত্রিক রাশি থেকে চতুর্মাত্রিক রাশি পাওয়া যায় যেগুলি ত্রিমাত্রিক স্থানের পরিবর্তে আপেক্ষিকতার চতুর্মাত্রিক স্থানকালে প্রযোজ্য। এদের বলে ৪-ভেক্টর। যেমন-
৪-অবস্থান (৩-মাত্রিক স্থান+ ১-মাত্রিক কাল)
৪-বেগ (৩-মাত্রিক বেগ+ ১-মাত্রিক কালপ্রবাহের বেগ)
৪-ত্বরণ (৩-মাত্রিক ত্বরণ+ ১-মাত্রিক কালপ্রবাহের ত্বরণ)
৪-ভরভেগ (৩-মাত্রিক ভরবেগ+ ১-মাত্রিক শক্তি)
৪-বল (৩-মাত্রিক বল+ ১-মাত্রিক ক্ষমতা)
৪-বিদ্যুৎপ্রবাহঘনত্ব (৩-মাত্রিক বিদ্যুৎপ্রবাহ+ ১-মাত্রিক আধান)
ইত্যাদি।

এই হল অতিসংক্ষেপে বিশেষ আপেক্ষিকতা তত্ত্ব যা আইনস্টাইন ১৯০৫ সালে প্রকাশ করেন। এরপর তাঁর মনে হয়, এই তত্ত্বে মহাকর্ষকে কীভাবে প্রবেশ করানো যেতে পারে। তিনি সেই নিয়ে চিন্তা-ভাবনা শুরু করেন।

ত্বরণযুক্ত বিশেষ আপেক্ষিকতাঃ (১৯০৭)

সমগতির পরিবর্তে বস্তু ত্বরণসহ চললে কী হবে?

মিনকৌস্কি রেখাচিত্র-এর সাহায্যে স্থানকালে ত্বরণসহ গতিশীল বিন্দুবস্তুর গতিপথ আলবার্টের সাপেক্ষে এইরূপ হয়ঃ (অনেকগুলি বস্তুর জন্য দেখানো হয়েছে)

যদি মিনকৌস্কি চিত্রে আলবার্ট ও তীর্থ-র নির্দেশতন্ত্রে ত্বরণসহ গতিশীল কণাদের গতিপথ একসাথে দেখানো হয় তবে এইরূপ হবেঃ

এটা ঠিক সমগতির ক্ষেত্রে দেখানো দেখানো চিত্রের মত। তীর্থ যত বেশী দ্রুত গতিশীল হবে, লাল অক্ষদ্বয় তত চেপে আসতে থাকবে। বস্তুগুলির ত্বরণ যত বেশী, বিশ্বরেখার বক্রতা তত বেশী। তাছাড়া, বস্তুগুলি ত্বরণযুক্ত বলে গতি বাড়তে থাকে ঠিকই কিন্তু কখনই আলোর গতিপথকে ছুঁতে পারেনা (কারণ আলোর বেগে পৌঁছানো ভরযুক্ত বস্তুর পক্ষে অসম্ভব)

এবারে বিন্দুবস্তুর পরিবর্তে রকেটের কথা ভাবা যাক। আলবার্টের সাপেক্ষে রকেট দৈর্ঘ্যে ক্রমশঃ ছোট হয়ে যাবে (Length contraction)। নীচের চিত্রে দেখুনঃ এর ফলে রকেটের বিভিন্ন অংশের স্থানকালের গতিপথের বক্রতা ভিন্ন ভিন্ন হবে অর্থাৎ তাদের ত্বরণ ভিন্ন ভিন্ন হবে।

অর্থাৎ আলবার্টের সাপেক্ষে, রকেটের সামনের অংশের তুলনায় পেছনের অংশ দ্রুততর হবে। ফলে Time dilation এর নিয়ম অনুযায়ী, সামনের ঘড়ির তুলনায় পেছনের ঘড়ি স্লথ হবে। 
[দেখুনঃ সামনের ঘড়িতে যে লাইনে ৪ টা বাজছে, পেছনের ঘড়িতে সেই লাইনে গেলে ৪ এর চেয়ে পিছিয়ে আছে]

রকেটের সাপেক্ষে, ধরা যাক, তীর্থ বসে আছে সামনের দিকে, B ঘড়ির কাছে। গতিবৃদ্ধির সাথে সাথে তার স্থান-অক্ষ বাঁকতে শুরু করবে। ফলে B ঘড়ির সাপেক্ষে তার A ঘড়িকে ক্রমশঃ পিছিয়ে চলছে মনে হবে। যখন সামনের ঘড়িতে ৪ টা বাজবে, পেছনের ঘড়িতে ২ টা বাজবে।

আইনস্টাইনের সমতুল্যতা নীতি (Equivalence Principle): (১৯০৭)

ধরা যাক দুজন পর্যবেক্ষকঃ আলবার্ট ও তীর্থ। আলবার্ট আছে মাটিতে দাঁড়িয়ে। সে ওজন অনুভব করছে। কারণঃ পৃথিবীর মহাকর্ষ। ক্ষুদ্র স্থানের জন্য এই ক্ষেত্রকে সমান্তরাল (Uniform) মনে করা যায়।

তীর্থ একটি উঁচু বহুতল থেকে ঝাঁপ দিল। উভয়েই সম্মত হবে যে তীর্থ কোনও ওজন অনুভব করেনি। আমরা জানি, অবাধে পতনশীল বস্তু নিউটনীয় মতে ত্বরনশীল হয়। অর্থাৎ যেন ত্বরণ মহাকর্ষকে ঠিকঠাক ভাবে কাটাকাটি করে দেয় (Cancels out)। এর থেকে সিদ্ধান্তে আসা যায়,

ত্বরণ আর সুষম মহাকর্ষ সমতুল্য। (আইনস্টাইনের সমতুল্যতা নীতি বা Equivalence Principle)

একজন ক) অবাধে পতনশীল হলে এবং খ) মহাকর্ষবিহীন অঞ্চলে ভাসতে থাকলে- দুইয়ের মধ্যে কোনরূপ তফাৎ বুঝতে পারবে না।

আবার একজন ক) মহাকর্ষ ক্ষেত্রে দাঁড়িয়ে থাকলে এবং খ) মহাকর্ষবিহীন অঞ্চলে একটি ত্বরণযুক্ত রকেটে থাকলে- দুইয়ের মধ্যে কোনরূপ তফাৎ বুঝতে পারবে না।

তাহলে একটি সুষম মহাকর্ষ ক্ষেত্রের বিশ্লেষণের জন্য মহাকর্ষের পরিবর্তে একটি ত্বরণযুক্ত রকেট ভাবতে পারি। আমরা আগেই তার নিয়মাবলী তৈরি করে রেখেছি। অর্থাৎ সুষম মহাকর্ষের জন্য আমাদের নিয়মাবলী ইতিমধ্যেই প্রস্তুত।

ওপরের চিত্রটি আরেকবার দেখুন। ঊর্ধ্বমুখে ত্বরণযুক্ত রকেট-এ থাকলে মনে হবে নিম্নমুখী একটি মহাকর্ষ ক্ষেত্রে দাঁড়িয়ে আছি। আবার আমরা আগেই দেখেছি, ত্বরণযুক্ত রকেটের সামনের দিকের (এক্ষেত্রে ওপরের দিকের) ঘড়ির তুলনায় পেছনের দিকের (এক্ষেত্রে নীচের দিকের) ঘড়ি স্লথ হয়। তাহলে সমতুল্যতা নীতি অনুযায়ী, মহাকর্ষ ক্ষেত্রের কাছে থাকা ঘড়ি দূরে থাকা ঘড়ির সাপেক্ষে স্লথ হয়। অর্থাৎ, মহাকর্ষ কাল-কে ধীর করে (Gravitational Time Dilation)।

এই হল সুষম মহাকর্ষ যা আইনস্টাইনের তত্ত্বমতে আসলে ত্বরণ ছাড়া আর কিছু নয়। অর্থাৎ এখনও আমরা বিশেষ আপেক্ষিকতা ব্যবহার করতে পারছি। এক্ষেত্রে স্থানকাল বড়-ছোট হলেও সত্যিকারের বক্র নয়; কারণ আমরা এখনও মিনকৌস্কির সমতল স্থান-কাল ব্যবহার করতে পারছি এবং এখনও ‘মহাকর্ষ’ বলে আসলে কিছু নেই।

সাধারণ আপেক্ষিকতাঃ (১৯১৫)

কিন্তু যদি ক্ষুদ্র অঞ্চল-এর পরিবর্তে একটি বিরাট বস্তুর (যেমন- একটি গ্রহ বা নক্ষত্র) চারদিকের সমগ্র অঞ্চলের কথা ভাবা হয়? তখন তো আর মহাকর্ষকে সমান্তরাল ধরা যায় না। ফলে ত্বরণ দিয়ে তাকে প্রতিস্থাপনও করা সম্ভব হয়না। তাহলে মহাকর্ষ-কে কীভাবে ব্যাখ্যা করা যাবে?

এটাই হল সাধারণ আপেক্ষিকতার প্রয়োগক্ষেত্র। এক্ষেত্রে মনে করা হয়, বিরাট বস্তুর আশেপাশের সমগ্র অঞ্চল ওই বস্তুর উপস্থিতির জন্যই বক্রতা প্রাপ্ত হয়েছে। এই বক্রতা স্থানকালের অন্তর্বর্তী/স্বকীয় বক্রতা (Intrinsic Curvature) যাকে কোনওভাবেই দূর করা যায়না।

[যেমন একটি রোল করে রাখা কাগজ আপাতভাবে বক্র হলেও তাকে সমতল করা যায় কিন্তু একটি গোলককে কখনও সমতল করা যায়না। স্থানকালের মহাকর্ষীয় বক্রতা এই দ্বিতীয় ধরণের বক্রতা]

মনে করা হয়, এই ধরণের স্বকীয় বক্র স্থানকাল-ই হল সত্যিকারের মহাকর্ষ। এই বক্রতা সৃষ্টি হয় স্থানকালে শক্তির উপস্থিতিতে। গাণিতিকভাবে একে প্রকাশ করে ‘আইনস্টাইন ক্ষেত্র সমীকরণ’।

[বিশেষ আপেক্ষিকতার মূল গাণিতিক নীতি যেমন ‘Lorentz Co-variance’ (যা নিহিত লরেঞ্জ রূপান্তর সমীকরণগুলির মধ্যে) তেমনই সাধারণ আপেক্ষিকতার মূল নীতি হল ‘General Co-variance’ যা অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ একটি কনসেপ্ট কিন্তু এই উত্তরে সেই কথায় যাবো না। শুধু বলি, Generally Co-variant সমীকরণ তৈরি করা যায় Tensor গণিতের সাহায্যে তাই আইনস্টাইন ক্ষেত্র সমীকরণ একটি টেনসর সমীকরণ যার মধ্যে Tensor Notation এর সাহায্যে আসলে ১০ টি সমীকরণ লুকানো আছে!]

এই সমীকরণগুলি সমাধান করে কোনও বিশেষ বস্তুর জন্য স্থানকালের বক্রতার বর্ণনা পাওয়া যায় গাণিতিকভাবে (জ্যামিতিকভাবে)। তবে সমতল স্থানকাল নয় বলে ইউক্লিডীয় জ্যামিতি ব্যবহার করা যায় না। প্রয়োজন হয় বক্রস্থানে প্রযোজ্য ‘রীমানীয় জ্যামিতি’-র।

স্থানকালের এই স্বকীয় বক্রতাকে চতুর্মাত্রিকভাবে ভাবলে অনেকটা এরকম হবেঃ

অনেক দূরে থাকা একজন পর্যবেক্ষকের সাপেক্ষে বিরাট ভরের বস্তুর কাছাকাছি ঘড়ি স্লো চলে কারণ কালের প্রবাহ স্লথ হয়। আবার, বিরাট ভরের বস্তুর কাছে স্থানের মাপন হ্রাসপ্রাপ্ত হয়। দুয়ে মিলে স্থানকালে বক্রতা থাকে।

এই বক্র স্থানকালে চলমান একটি বস্তু স্থানকালে ক্ষুদ্রতম বিশ্বরেখায় চলে। এদের বলে ‘জিওডেসিক’ (Geodesic)।

PQ একটি জিওডেসিক।

সমতল স্থানে ক্ষুদ্রতম পথ হল সরলরেখা। বক্র স্থানকালে ক্ষুদ্রতম পথগুলি অর্থাৎ জিওডেসিকগুলি বক্ররেখা। তাই মহাকর্ষ ক্ষেত্রে চলমান বস্তু সরলপথে চলতে চাইলেও দেখে মনে হয় বক্রপথে চলছে। একেই আমরা নিউটনীয় দৃষ্টিভঙ্গীতে মহাকর্ষের প্রভাবে বস্তুর আবর্তন বলে মনে করি।

যাকে আমরা মহাকর্ষীয় ত্বরণ মনে করি, তা আসলে চতুর্মাত্রিক স্থানকালে ক্ষুদ্রতম পথে অবাধে পতনশীল বস্তু যার ওপর কোনও বল কাজ করছে না (সে শুধু বক্রতা অনুসরণ করছে); তাই আসলে তার ত্বরণ নেই। তাহলে ক্রমশঃ বেগ বাড়ে কীভাবে?

না, বেগ আসলে বাড়ে না! অনেক ওপরে তার স্থানে চলন কম হয় কারণ কালে চলন বেশী হয় কারণ অনেক ওপরে কালের গতি দ্রুততর। নীচে নামতে থাকলে তার স্থানে চলন বেড়ে যায় (যা দেখে আমরা মনে করি ত্রিমাত্রিক স্থানে তার বেগ বাড়ছে অর্থাৎ ত্বরণ হচ্ছে) কিন্তু ওপরের ঘড়ির সাপেক্ষে নীচে কালের গতি স্লথ হয় ফলে তার কালে চলন কমে- সবমিলে চতুর্মাত্রিক স্থানকালে তার বেগ একই থাকে।

এইভাবে মহাকর্ষকে স্থানকালের জ্যামিতিক গঠনের সাহায্যেই ব্যাখ্যা করা যায়। এই স্বকীয় বক্রতা সত্যিকারের অন্তর্বর্তী বক্রতা হলেও তার একেকটি ক্ষুদ্র অঞ্চলকে প্রায় সমতল ধরা যায় যেমন পৃথিবীপৃষ্ঠকে ক্ষুদ্র অঞ্চলে সমতল মনে হয়।

ওপরের চিত্রের মত করে বক্র স্থানকালের ক্ষুদ্র ক্ষুদ্র অঞ্চলে প্রায় সমতল স্থানকাল পেতে পারি যেখানে আমরা সাধারণ আপেক্ষিকতার বিশেষ রূপ ‘বিশেষ আপেক্ষিকতা’ ব্যবহার করতে পারি যাতে মহাকর্ষ সুষম বলে ত্বরণ দ্বারা প্রতিস্থাপন ও বিশ্লেষণ করা যায়। (স্থান)কালের স্লথতা সেখানেও থাকে তবে তা স্বকীয় বক্রতা হয় না, সামতলিক হ্রাসবৃদ্ধি হয়।